【BZOJ4827】【HNOI2017】礼物（FFT）

题面

Description

我的室友最近喜欢上了一个可爱的小女生。马上就要到她的生日了，他决定买一对情侣手 环，一个留给自己，一

个送给她。每个手环上各有 n 个装饰物，并且每个装饰物都有一定的亮度。但是在她生日的前一天，我的室友突

然发现他好像拿错了一个手环，而且已经没时间去更换它了！他只能使用一种特殊的方法，将其中一个手环中所有

装饰物的亮度增加一个相同的自然数 c（即非负整数）。并且由于这个手环是一个圆，可以以任意的角度旋转它，

但是由于上面 装饰物的方向是固定的，所以手环不能翻转。需要在经过亮度改造和旋转之后，使得两个手环的差

异值最小。在将两个手环旋转且装饰物对齐了之后，从对齐的某个位置开始逆时针方向对装饰物编号 1,2,…,n，

其中 n 为每个手环的装饰物个数，第 1 个手环的 i 号位置装饰物亮度为 xi，第 2 个手 环的 i 号位置装饰物

亮度为 yi，两个手环之间的差异值为(参见输入输出样例和样例解释)： \(\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2\)麻烦你帮他

计算一下，进行调整（亮度改造和旋转），使得两个手环之间的差异值最小， 这个最小值是多少呢？

Input

输入数据的第一行有两个数n, m，代表每条手环的装饰物的数量为n，每个装饰物的初始 亮度小于等于m。

接下来两行，每行各有n个数，分别代表第一条手环和第二条手环上从某个位置开始逆时 针方向上各装饰物的亮度。

\(1≤n≤50000, 1≤m≤100, 1≤ai≤m\)

Output

输出一个数，表示两个手环能产生的最小差异值。

注意在将手环改造之后，装饰物的亮度 可以大于 m。

Sample Input

5 6

1 2 3 4 5

6 3 3 4 5

Sample Output

1

【样例解释】

需要将第一个手环的亮度增加1，第一个手环的亮度变为： 2 3 4 5 6 旋转一下第二个手环。对于该样例，是将第

二个手环的亮度6 3 3 4 5向左循环移动 2017-04-15 第 6 页，共 6 页 一个位置，使得第二手环的最终的亮度为

：3 3 4 5 6。 此时两个手环的亮度差异值为1。

题解

太神奇了，我果然菜爆

首先把公式写成

\[\sum_{i=1}^n(x_i-y_{i+k}+C)^2\]

其中C是亮度的增加值（一个增加相当于另一个减小，所以\(C\in[-m,m]\)）

拆开之后，有一些常数项，两个带\(C\)的项，以及一个\(-2\sum_{i=1}^n x_iy_{i+k}\)

显然，现在问题变成了求\(\sum x_i y_{i+k}\)的最大值

然后我就只会\(O(n^2)\)了。。。

题解告诉我们，看到这样的式子，往FFT上面靠

我们把其中一个数列反过来再在后面接一遍

这样子的话，两个数列当做多项式做卷积

手玩之后发现，\(\sum x_i y_{i+k}\)就是卷积\(x^{(n+k-1)}\)项的系数

然后，\(m<=100\)，暴力枚举一下m就可以求解了

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